局部紧阿贝尔群与向量丛上的 Balian-Low 定理

设 $\Lambda$ 是第二可数局部紧阿贝尔群 $G$ 中的一个格，其零化子为 $\Lambda^{\perp} \subseteq \widehat{G}$。我们研究如下命题的成立性：对于 Feichtinger 代数 $S_0(G)$ 中的每个 $\eta$，Gabor 系统 $\{ M_{\tau} T_{\lambda} \eta \}_{\lambda \in \Lambda, \tau \in \Lambda^{\perp}}$ 不是 $L^2(G)$ 的一个框架。当 $G = \mathbb{R}$ 且 $\Lambda = \alpha \mathbb{Z}$ 时，该命题是 Balian-Low 定理的一个变体。推广 R. Balan 的一个结果，我们证明该命题是否能推广到 $(G,\Lambda)$ 等价于紧空间 $(G/\Lambda) \times (\widehat{G}/\Lambda^{\perp})$ 上某个向量丛的非平凡性。我们利用 Gabor 框架与 Heisenberg 模之间的关联证明了这一等价性。更具体地说，我们证明 Zak 变换可视为某些 Hilbert $C^*$-模的同构。作为一个应用，我们证明了群 $\mathbb{R} \times \mathbb{Q}_p$ 上的一个新 Balian-Low 定理，其中 $\mathbb{Q}_p$ 表示 $p$-进数。