$\mu$ 向量、Morse 不等式及局部 tame 组合流形的广义下界定理

在最近与 Datta 合作的工作 [2] 中，我们引入了单纯复形的 $\mu$ 向量（相对于给定域），并用其研究紧致性和下界。在本文中，我们修改了 $\mu$ 向量的定义。采用新定义后，[2] 中的大多数结果无需 2-邻接性假设即可成立。特别是，[2] 中的组合 Morse 不等式现在对所有单纯复形均成立。作为一个应用，我们证明了连通局部 tame 组合流形的如下广义下界定理 (GLBT)：若 $M$ 是这样一个 $d$ 维流形，则对于 $1 \leq \ell \leq \frac{d-1}{2}$ 和任意域 $\mathbb{F}$，有 $g_{\ell+1} (M) \geq \binom{d+2}{\ell+1} \sum\limits_{i=1}^\ell (-1)^{\ell-i} \beta_i (M;\mathbb{F})$。此处等式成立当且仅当 $M$ 是 $\ell$-stacked 的。我们猜想，更一般地，该定理对所有三角剖分的连通闭同调流形均成立。我们还提出了一个关于三角剖分同调球面 $\sigma$ 向量的猜想，其有效性将蕴含同调流形的这一 GLB 猜想。我们也证明了所有连通闭组合 3-流形的 GLBC。因此，任何三维连通闭组合流形 $M$ 均满足 $g_2 (M) \geq 10 \beta_1 (M;\mathbb{F})$，等式成立当且仅当 $M$ 是 1-stacked 的。这一结果肯定地解决了 Novik 和 Swartz [6] 提出的一个问题。