关于星形球面与组合流形的紧致性判据

我们引入了 $k$-星形球面，并考虑三角剖分 $d$-流形的类 ${\cal W}_k(d)$，其所有顶点链接均为 $k$-星形；以及其子类 ${\cal W}^{\ast}_k(d)$，由 ${\cal W}_k(d)$ 中的 $(k+1)$-邻接成员组成。我们引入了任意单纯复形的 mu-向量，并证明了在 2-邻接单纯复形的情形下，mu-向量在分量上控制其 Betti 数向量；这两个向量恰好对于紧致单纯复形相等。我们能够估计/计算 ${\cal W}_k(d)$ 中任意 2-邻接成员（当 $d\geq 2k$ 时）的 mu-向量分量的某些交错和。作为该理论的一个推论，我们证明了此类三角剖分流形的下界定理，并确定了当 $d \geq 2k+2$ 时 ${\cal W}^{\ast}_k(d)$ 成员的整同调型。作为另一个应用，我们证明了当 $d \neq 2k+1$ 时，${\cal W}^{\ast}_k(d)$ 的所有成员都是紧致的。我们还根据其 $k^{\rm th}$ Betti 数刻画了 ${\cal W}^{\ast}_k(2k + 1)$ 的紧致成员。这些结果或多或少回答了 Effenberger 最近提出的一个问题，并为除两个已知紧致三角剖分流形外的所有情况提供了统一且概念化的紧致性证明。我们还证明了三角剖分流形的一个下界定理，其中 ${\cal W}_1(d)$ 的成员提供了等号成立的情形。这推广了 Walkup 和 Kuehnel 的一个结果（$d=4$ 的情形）。作为一个推论，证明了 ${\cal W}_1(d)$ 的每个紧致成员都是强极小的，从而为 Kuehnel 和 Lutz 提出的猜想（即紧致三角剖分流形应为强极小）提供了实质性证据。