关于$k$-星形化和$k$-堆叠球面

我们引入了$d$维$k$-星形化（组合）球面类$\Sigma_k(d)$（$0 \leq k \leq d + 1$），并将其与$k$-堆叠同调$d$-球面类${\cal S}_k(d)$（$0 \leq k \leq d$）进行比较和对照。我们有$\Sigma_1(d) = {\cal S}_1(d)$，且对于$d \geq 2k - 1$，有$\Sigma_k(d) \subseteq {\cal S}_k(d)$。然而，对于每个$k \geq 2$，都存在是$k$-堆叠但不是$k$-星形化的球面。是否存在是$k$-星形化但不是$k$-堆叠的球面仍是一个未决问题。我们还考虑了单纯复形类${\cal W}_k(d)$（和${\cal K}_k(d)$），其所有顶点链接均属于$\Sigma_k(d - 1)$（分别为${\cal S}_k(d - 1)$）。因此，对于$d \geq 2k$，有${\cal W}_k(d) \subseteq {\cal K}_k(d)$，而${\cal W}_1(d) = {\cal K}_1(d)$。令$\bar{{\cal K}}_k(d)$表示所有顶点链接均为$k$-堆叠球的$d$维复形类。我们证明，对于$d\geq 2k + 2$，存在一个从${\cal K}_k(d)$到$\bar{{\cal K}}_k(d + 1)$的自然双射$M \mapsto \bar{M}$，它是边界映射$\partial \colon \bar{{\cal K}}_k(d + 1) \to {\cal K}_k(d)$的逆映射。