堆叠球的横截数

堆叠 $d$-球 $S$ 是一个堆叠 $(d+1)$-球的边界复形，该 $(d+1)$-球是通过从一个 $(d+1)$-单形出发反复对自由的 $d$-面取锥而得到的。若每一步的锥均取在前一步所添加的面上，则称堆叠球 $S$ 为线性的。本文研究堆叠 $d$-球的面横截数，记为 $\tau(S)$，即与所有面相交的顶点的最小数目。Briggs、Dobbins 和 Lee 证明了堆叠 $d$-球的横截比上界为 $\frac{2}{d+2}+o(1)$，且可大至 $\frac{2}{d+3}$。我们通过构造横截比为 $\frac{6}{3d+8}$ 的线性堆叠 $d$-球以及横截比为 $\frac{2d+3}{(d+2)^2}$ 的一般堆叠 $d$-球改进了下界。最后，我们证明 $\frac{6}{3d+8}$ 对于线性堆叠 $2$-球是最优的，即线性堆叠 $2$-球的横截比至多为 $\frac{3}{7} + o(1)$。