关于圆柱网格和环面网格的 d-横截数

对于正整数 $d$，图 $G$ 的 $d$-横截集是指满足 $|T\cap M|\geq d$ 对每个最大匹配 $M$ 的边子集 $T\subseteq E(G)$。图 $G$ 的 $d$-横截数记为 $\tau_d(G)$，表示其中 $d$-横截集的最小基数。要确定二分图的 $d$-横截数是 NP 完备的，对任意固定的 $d\geq 1$。Ries 等人 (Discrete Math. 310 (2010) 132-146) 确定了矩形网格 $P_m\square P_n$ 的 $d$-横截数。本文考虑圆柱网格 $P_m\square C_n$ 和环面网格 $C_m\square C_n$。我们推导了 $P_m\square C_n$ 在 $m\geq 1$ 且偶数 $n\geq 4$，或偶数 $m\geq 2$ 且 $n=3$ 情况下的 $d$-横截数的显式表达式，以及 $C_m\square C_n$ 阶数为偶数的 $d$-横截数的显式表达式，其中 $1\leq d\leq \frac{mn}{2}$。对于其他情况，我们获得它们的 $d$-横截数的显式表达式或下界。