网格的强凸谱

设 $D$ 为一个连通有向图。如果对于 $S$ 中的任意一对顶点 $x, y \in S$，$D$ 中每条 $xy$-测地线（$xy$ 最短有向路径）和每条 $yx$-测地线的顶点集都包含在 $S$ 中，则集合 $S \subseteq V(D)$ 在 $D$ 中是凸的。非平凡有向图 $D$ 的凸数 ${\rm con}(D)$ 定义为 $D$ 的真凸集的最大基数。图 $G$ 的强凸谱 $S_{SC} (G)$ 是集合 $\{{ \rm con}(D) \colon\ D {\rm \ 是 \ } G \rm \ 的强定向\}$。在本文中，我们证明了确定有向图凸数的问题是 $\mathcal{NP}$-完全的，即使对于任意大围长的二部有向图也是如此，从而扩展了先前关于图的已知结果。我们还确定了每一对整数 $n,m \ge 2$ 的 $S_{SC} (P_n \Box P_m)$。