关于图的定向的维纳指数

强有向图 $D$ 的维纳指数定义为所有有序顶点对之间距离之和。该定义已推广到未必强连通的有向图：若 $D$ 中不存在从顶点 $a$ 到顶点 $b$ 的路径，则定义从 $a$ 到 $b$ 的距离为 $0$。Knor、Škrekovski 和 Tepeh [Some remarks on Wiener index of oriented graphs. Appl. Math. Comput. {\bf 273}] 研究了具有最大维纳指数的图的定向。作者猜想：对给定树 $T$，其具有最大维纳指数的定向 $D$ 总包含一个顶点 $v$，使得对每个顶点 $u$，$D$ 中均存在 $(u,v)$-路或 $(v,u)$-路。本文反驳了该猜想。我们还证明了求给定图的最大维纳指数定向的问题是 NP-完全的，从而回答了 Knor、Škrekovski 和 Tepeh [Orientations of graphs with maximum Wiener index. Discrete Appl. Math. 211] 提出的问题。我们简要讨论了相应的求给定图的最小维纳指数定向的问题，并证明判定具有 $m$ 条边的给定图是否存在维纳指数为 $m$ 的定向这一特殊情形可在关于 $n$ 的二次时间内求解。