有向网格图的最大维纳指数

本文研究有向图尤其是有向网格图的维纳指数。网格图 $G_{m,n}$ 是含 $m$ 与 $n$ 个顶点的路 $P_m$ 与 $P_n$ 的笛卡尔积 $P_m\Box P_n$，当 $m=2$ 的特殊情形称为梯图 $L_n$。Kraner \v{S}umenjak 等证明，通过对 $L_n$ 的边定向所得有向图的最大维纳指数，出现于除一层（对应于另一因子的端点）以相反方向定向外，所有同构于某一因子的层均以相同方式定向为路时。随后他们猜想，该定向方式对 $G_{m,n}$ 的自然推广将在 $G_{m,n}$ 的所有定向中达到最大维纳指数。本文中我们通过证明 $G_{m,n}$ 的梳状定向具有显著更大的维纳指数，否定了该猜想。