奇次数数域上 CM 椭圆曲线的扭子群

设 $\mathscr{G}_{\rm CM}(d)$ 表示在 $d$ 次数域上作为 CM 椭圆曲线的扭子群出现的群（同构意义下）的集合。我们完全确定了对于奇数 $d$ 的 $\mathscr{G}_{\rm CM}(d)$，并推导出关于 CM 椭圆曲线扭子群行为的一些统计定理。以下是三个例子：(1) 对于每个奇数 $d$，满足 $\mathscr{G}_{\rm CM}(d') = \mathscr{G}_{\rm CM}(d)$ 的自然数 $d'$ 的集合具有一个定义良好的正渐近密度。(2) 令 $T_{\rm CM}(d) = \max_{G \in \mathscr{G}_{\rm CM}(d)} \#G$；在广义黎曼假设下，$$\left(\frac{12e^{\gamma}}{\pi}\right)^{2/3} \le \limsup_{\substack{d\to\infty\\d\text{ odd}}} \frac{T_{\rm CM}(d)}{(d\log\log{d})^{2/3}} \le \left(\frac{24e^{\gamma}}{\pi}\right)^{2/3}.$$ (3) 对于每个 $\epsilon > 0$，对所有奇数 $d$ 有 $\#\mathscr{G}_{\rm CM}(d) \ll_{\epsilon} d^{\epsilon}$；另一方面，对于每个 $A> 0$，对无穷多个奇数 $d$ 有 $\#\mathscr{G}_{\rm CM}(d) > (\log{d})^A$。