复乘情形下的挠结构剖析

设 $T_{\mathrm{CM}}(d)$ 表示定义在 $d$ 次数域上的复乘（CM）椭圆曲线的挠子群的最大阶。我们启动对 $T_{\mathrm{CM}}(d)$ 作为“算术函数”的渐近行为的系统研究。尽管最近两位作者的结果计算了 $T_{\mathrm{CM}}(d)$ 的上阶，本文我们确定了 $T_{\mathrm{CM}}(d)$ 的下阶、典型阶与平均阶，并研究了作为 $d$ 次数域上复乘椭圆曲线挠子群出现的、阶为 $T_{\mathrm{CM}}(d)$ 的群 $G$ 的同构类个数。为建立这些分析结果，我们需要推广一些先前的代数结果。特别地，若 $E_{/F}$ 是 $d$ 次数域上的复乘椭圆曲线，我们证明 $d$ 可被 $\# E(F)[\mathrm{tors}]$ 的某个函数整除，并且我们完整刻画了所有次数 $d$，使得定义在 $d$ 次数域上的复乘椭圆曲线的每个挠子群已在 $\mathbb{Q}$ 上出现。