有理几何同源类导出的挠群一致多项式上界

1996 年，Merel 证明了存在一个函数 $B\colon \mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$，使得对于定义在次数为 $d$ 的数域上的任意椭圆曲线 $E/F$，其挠群满足上界 $\# E(F)[\textrm{tors}]\leq B(d)$。基于后续的研究，人们猜想可以选择 $B$ 为关于次数 $d$ 的多项式。在本文中，我们证明了对于椭圆曲线族 $\mathcal{I}_{\mathbb{Q}}$（即与至少一条有理椭圆曲线几何同源的椭圆曲线）的挠群，此类上界存在。更确切地说，我们证明了对于每个 $\epsilon>0$，存在 $c_\epsilon>0$，使得对于任意椭圆曲线 $E/F\in \mathcal{I}_{\mathbb{Q}}$，有 $$E(F)[\textrm{tors}]\leq c_\epsilon\cdot [F:\mathbb{Q}]^{3+\epsilon}.$$ 这推广了第二位作者针对固定有理几何同源类中的椭圆曲线所做的工作。对于具有有理 $j$-不变量的椭圆曲线族，我们也获得了优于 Clark 和 Pollack 的上界。在这种情况下，如果不排除具有复乘的椭圆曲线，我们对 $E(F)[\textrm{tors}]$ 指数的上界是最优的。