关于六分域上有理椭圆曲线的离切子群分类的完成

我们完成了对椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$ 在六分数域 $K$ 上的离切子群 $E(K)_{\text{tors}}$ 可能出现的完整分类。以前的工作确定了这些群的完整集合，仅剩下一个群 $C_3 \oplus C_{18}$ 的存在性存疑。我们证明了该群不存在。我们的证明依赖于椭圆曲线附带的 Galois 表示的理论。假设存在 $C_3 \oplus C_{18}$ 的离切子群将对该曲线的 mod-$2$ 和 $3$-adic Galois 表示施加强大的、同步的约束。通过应用最近的 $\ell$-adic Galois 图像分类（针对 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线），我们将这些算术约束转化为一个数论几何问题：具有此类曲线的 $j$-不变量必须对应于一个有限多个模曲线上的有理点。我们随后通过经典方法分析这些曲线，说明它们中没有任何曲线具有对应于无复乘的椭圆曲线的必要有理点，从而证明了我们的主要结果。