CM椭圆曲线在 $\mathbb{Q}$ 上的密度与分布

本文研究CM椭圆曲线在 $\mathbb{Q}$ 上的密度与分布。特别是，我们证明了在朴素高度排序后，CM椭圆曲线在 $\mathbb{Q}$ 上的自然密度为零。进一步，我们分析了这些曲线在具有类数为一的十三个可能CM秩中的分布。我们的结果表明， asymptotically， $100\%$ 的曲线具有复乘以秩为一的轨道 $\mathbb{Z}\left[\frac{-1 + \sqrt{-3}}{2} \right]$，即具有 $j$-不变式为0。我们在两种代表 $\mathbb{Q}$-同构CM椭圆曲线 $\mathbb{Q}$-同构类的家族中进行此分析：一种是文献中常用的另一种是使用扭转理论构造的。作为我们的证明的一部分，我们给出具有给定 $j$-不变式且受朴素高度限制的椭圆曲线数量的渐近公式。