对 $\mathbb{F}_q(t)$ 上椭圆曲线的同构类的计数

我们确定了在$\mathbb{F}_q(t)$上的椭圆曲线的同构类数，其中$\text{char}(\mathbb{F}_q) = 3,2$。关键思想是获得$\mathcal{B} Q_{12}$、$\mathcal{B} Q_{24}$和$\mathcal{B} Z$上准无加权有理点数的精确值，其中$Q_{12}$和$Q_{24}$分别表示阶为12和24的二面体群，$Z$表示阶为2的非简约群方案。这种计算灵感来自[de Jong]的经典工作，通过[Bejleri-Park-Satriano]中构造的高程模空间的动力学高度zeta函数完成，确立了在任意理想域$k(t)$上$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$的有理点同构类的总数的完整确定，其中$k$的剩余域满足$\text{char}(k) \ge 0$。