有限基域扩张上的极大椭圆曲线

给定有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的椭圆曲线 $E$，我们研究 $\mathbb{F}_q$ 的有限扩张 $\mathbb{F}_{q^n}$，使得 $E$ 上 $\mathbb{F}_{q^n}$-有理点的个数达到 Hasse 上界。我们利用对数线性形式的估计，得到了普通椭圆曲线次数 $n$ 的上界，从而能够计算小 $q$ 时此类曲线的同源类与次数 $n$ 的配对。利用 Schmidt 子空间定理的一个推论，我们将充分大 $q$ 时的上界改进为 $n\leq 11$。我们还证明了存在无穷多具有 $n=3$ 的普通椭圆曲线的同源类。