有限域上曲线有理点最大个数的下界

对于给定的亏格 $g \geq 1$，我们给出 ${\mathbb F}_q$ 上亏格为 $g$ 的光滑射影绝对不可约曲线的有理点最大个数的下界。作为 Katz-Sarnak 理论的结果，我们首先得到：对任意给定 $g>0$、任意 $\varepsilon>0$ 以及所有足够大的 $q$，存在 ${\mathbb F}_q$ 上亏格为 $g$ 的曲线，其至少有 $1+q+ (2g-\varepsilon) \sqrt{q}$ 个有理点。随后利用超椭圆曲线的 Frobenius 迹的幂和，我们得到形如 $1+q+1.71 \sqrt{q}$ 的下界，对 $g \geq 3$ 且奇 $q \geq 11$ 成立。最后，曲线的塔的显式构造改进了该结果，得到形如 $1+q+4 \sqrt{q} -32$ 的界，对所有 $g\ge 2$ 及所有 $q$ 成立。