改进有限域上代数曲线有理点个数上界的几何方法

目前，定义在有限域 $F_q$ 上的绝对不可约、光滑、射影代数曲线（亏格为 g）的有理点个数的最佳上界，在亏格相对于 q 较小时来自 Serre 对 Weil 界的精化，而在亏格较大时来自 Oesterle 对显式公式方法的优化。本文提出三种改进这些上界的方法。所用论证分别为曲线的 theta 除子不可分解性、Galois 下降以及 Honda-Tate 理论。改进上界的例子包括：当 $q=2^3, 2^5, 2^{13}, 3^3, 3^5, 5^3, 5^7$ 以及 $q=2^{2s}, s>1$ 时，降低大范围小亏格的上界；对于大亏格，当 $q=3,8,9$ 时得到孤立的改进。