代数曲线上有理点的界：关于次数的最优性及维数增长

自 Bombieri 与 Pila 的工作以来，对次数 $d$ 的不可约代数平面曲线上高不超过 $H$ 的有理点个数给出上界一直是一个备受关注的研究课题。本文通过建立上界 $C d^2 H^{2/d} (\log H)^\kappa$（其中 $C$ 与 $\kappa$ 为绝对常数）确立了关于 $d$ 的最优依赖关系。该界关于 $d$ 与 $H$ 均为最优，除常数 $C$ 与 $\kappa$ 外。这回答了 Salberger 提出的一个问题，从而简化了他关于 Heath-Brown 与 Serre 的一致维数增长猜想的证明，同时我们将 $H^\epsilon$ 因子替换为 $\log H$ 的幂。我们方法的主要优势在于将代数曲线的一种新的高效光滑参数化形式与 P\'olya 的一个有百年历史的判别法相结合，相比使用 B\'ezout 定理的标准方法可额外节省一个 $d$ 的幂次。