维数增长猜想：关于次数的多项式依赖且不含对数因子

我们研究 Heath-Brown 与 Serre 的维数增长猜想（由 Salberger 证明）在次数 $d$ 增长时的情形。回顾可知，Salberger 的维数增长结果给出了 ${\mathbb P}^n_{\mathbb Q}$ 上任意次数 $d\geq 2$ 的整子簇 $X$ 的高度至多为 $B$ 的有理点个数形如 $O_{X, \varepsilon} (B^{\dim X+\varepsilon})$ 的界，其中一旦 $d\geq 4$ 便可将 $O_{X, \varepsilon}$ 写作 $O_{d,n, \varepsilon}$。我们的主要贡献是：一旦 $d \geq 5$，移除因子 $B^\varepsilon$ 且不引入 $\log B$ 因子，同时使隐含常数对 $d$ 具有多项式依赖。在 $d$ 上以多项式方式处理，使我们能对次数 $d \geq 16$ 的维数增长给出自包含且稍简化的处理；而在 $5 \leq d \leq 15$ 范围内，我们援引 Browning、Heath-Brown 与 Salberger 的结果。在此过程中，我们改进了 Bombieri 与 Pila 关于仿射曲线上有界高度整点个数的著名界，以及 Walsh 关于射影曲线上有界高度有理点个数的界。前一项改进略微 sharpen 了 Bhargava、Shankar、Taniguchi、Thorne、Tsimerman 与 Zhao 近期关于 $d$ 次数数域类群 $2$- torsion 子群大小的估计。我们的处理基于 Salberger 近期将许多素数引入 Heath-Brown 行列式方法变体的工作，以及 Walsh 与 Ellenberg--Venkatesh 近期将定义多项式的大小引入的工作。我们还得到下界，表明不可能取得优于对 $d$ 多项式依赖的结果。