指数曲线上高维空间的 Bernstein-Walsh 不等式

设 ${{\bf x}}=(x_1,\dots,x_d) \in [-1,1]^d$ 在 $\mathbb Z$ 上线性无关，令 $K=\{(e^{z},e^{x_1 z},e^{x_2 z}\dots,e^{x_d z}): |z| \le 1\}.$ 我们证明了关于 $n$ 次多项式增长的尖锐估计，其形式为 $$E_n({\bf x}):=\sup\{\|P\|_{\Delta^{d+1}}:P \in \mathcal P_n(d+1), \|P\|_K \le 1\},$$ 其中 $\Delta^{d+1}$ 是单位多圆盘。对于所有条目线性无关的 ${{\bf x}} \in [-1,1]^d$，我们有下界估计 $$\log E_n({\bf x})\ge \frac{n^{d+1}}{(d-1)!(d+1)} \log n - O(n^{d+1});$$ 对于 Diophantine $\bf x$，我们有 $$\log E_n({\bf x})\le \frac{ n^{d+1}}{(d-1)!(d+1)}\log n+O( n^{d+1}).$$ 特别地，该估计对关于 Lebesgue 测度的几乎所有 $\bf x$ 成立。