代数曲线上带零点函数的高阶导数

设 $f: B^n \rightarrow {\mathbb R}$ 为单位球 $B^n$ 上 $d+1$ 次连续可微函数，且 $\max_{z\in B^n} \| f(z) \|=1$。一个熟知的事实是：若 $f$ 在某个具有非空内部的集合 $Z\subset B^n$ 上为零，则对每个 $k=1,\ldots,d+1$，其 $k$ 阶导数的范数 $\|f^{(k)}\|$ 至少为 $M=M(n,k)>0$。我们证明该事实对所有“充分稠密”的集合 $Z$（包括有限集）依然成立。$Z$ 的稠密性通过其覆盖数的性态来度量。特别地，对每个盒（或 Minkowski，或熵）维数 $\dim_e(Z)$ 大于 $n-\frac{1}{k}$ 的 $Z$，界 $\|f^{(k)}\|\ge \tilde M=\tilde M(n,k)>0$ 成立。