关于勒贝格密度点与密度-度数函数的若干注记

本文研究了 m-密度点和密度-度数函数的一些性质。此外，还给出了以下主要结果：\n\n- 设 λ 是 R^n 中的一个 h 次连续微分形式（h ≥ 0），具有以下性质：存在一个 R^n 中的 h+1 次连续微分形式 Δ，使得对于 R^n 中每个 C^∞_c 的 n-h-1 次微分形式 ω，有 ∫_{R^n} Δ ∧ ω = ∫_{R^n} λ ∧ dω。再设 μ 是 R^n 中的一个 C^1 的 h+1 次微分形式，并令 E := {y ∈ R^n | Δ(y) = μ(y)}。那么，只要 x 是 E 的 (n+1)-密度点，就有 dμ(x) = 0。\n\n- 设 f: R^n → R 是一个可测函数，使得对于几乎处处的 x ∈ R^n，有 f(x) ∈ {0} ∪ [n, +∞]。那么存在一个由 R^n 的闭子集构成的可数族 {F_k}_{k=1}^∞，使得相应的密度-度数函数序列 {d_{F_k}}_{k=1}^∞ 几乎处处收敛于 f。