基于 Haar 零集意义的连续函数可微性

关于连续函数可微性的经典结果之一指出，在某点可微的函数（即处处可微函数）之集合 $\mathcal{SD}$ 在空间 $C[0,1]$ 中是 Haar 零集。根据 Banakh 等人近期的结果，若存在一个 Borel 包 $B\supseteq A$ 和连续映射 $f\colon \{0,1\}^\mathbb{N}\to C[0,1]$，使得对所有 $h\in C[0,1]$ 有 $f^{-1}[B+h]$ 为 Lebesgue 零集，则集合 $A$ 是 Haar 零集。我们证明 $\mathcal{SD}$ 不是 Haar 可数（即不满足将上述性质中“Lebesgue 零集”替换为“可数集”的性质，或等价地，对每个 $\{0,1\}^\mathbb{N}$ 的拷贝 $C$，存在 $h\in C[0,1]$ 使得 $\mathcal{SD}\cap (C+h)$ 不可数）。此外，我们在进一步研究连续函数可微性时使用上述概念。即，我们考虑在 Lebesgue 正测度集上可微的函数以及关于 Lebesgue 测度几乎处处可微的函数。进而，我们研究多维情形，即定义在 $[0,1]^k$ 上的连续函数的可微性。最后，我们提出一个关于 Takagi 函数的开放问题。