无处可积函数集的空间性与代数性

我们证明了 $[0,1]$ 上无处本质有界的 Lebesgue 可积函数集是空间性的 (spaceable)，改进了 [F. J. Garc\'{i}a-Pacheco, M. Mart\'{i}n, 和 J. B. Seoane-Sep\'{u}lveda. \textit{Lineability, spaceability, and algebrability of certain subsets of function spaces,} Taiwanese J. Math., \textbf{13} (2009), no. 4, 1257--1269] 中的结果，并证明其是强 $\mathfrak{c}$-代数的 (strongly $\mathfrak{c}$-algebrable)。我们证明了具有稠密跳跃间断点的有界变差函数集的强 $\mathfrak{c}$-代数性和非可分空间性。作为推论，给出了关于 Lebesgue 无处 Riemann 可积函数集和 Riemann 无处 Newton 可积函数集的应用。此外，我们证明了非 Lebesgue 可积的 Kurzweil 可积函数集在 Alexievicz 范数下是空间性的，但不是 1-代数的。我们还证明存在一个无限维可微函数向量空间 $S$，使得 $S$ 在 $C([0,1])$ 中的闭包的每个元素都是某个 Kurzweil 可积函数的原函数，这与 [V. I. Gurariy, \textit{Subspaces and bases in spaces of continuous functions (Russian),} Dokl. Akad. Nauk SSSR, \textbf{167} (1966), 971-973] 中的经典空间性结果相关联。