Newton-Sobolev空间的 removable 集与 $p$-路径几乎开集的刻画

我们研究在满足加倍测度与Poincaré不等式的通常（局部）假设的度量测度空间中，Newton-Sobolev函数的removable集。特别地，当限制到欧氏空间时，一个零Lebesgue测度的闭集$E\subset \mathbf{R}^n$被证明对$W^{1,p}(\mathbf{R}^n \setminus E)$是removable的，当且仅当$\mathbf{R}^n \setminus E$作为一个度量空间支持$p$-Poincaré不等式。当$p>1$时，这恢复了Koskela的结果（Ark. Mat. 37 (1999), 291--304），但对于$p=1$以及对于度量空间，这似乎是新的。我们还得到了Dirichlet空间$L^{1,p}$的相应刻画。为了能够包含$p=1$，我们首先研究了$p=1$情形下Newton-Sobolev函数从非完备空间$X$到其完备化$\widehat{X}$的延拓。在这些结果中，$p$-路径几乎开集起着重要作用，我们通过$p$-路径开集、$p$-拟开集和$p$-精细开集给出了它们的刻画。我们还展示了在假定连续统假设成立时，$\mathbf{R}^n$（$n \geq 2$）存在不可测的$p$-路径几乎开子集。此外，我们将先前关于具有$L^p$-可积上梯度的函数的可测性、$p$-拟开集、$p$-路径开集与$p$-精细开集、以及$N^{1,1}$-函数的Lebesgue点的结果，推广到仅满足局部假设的空间。