表示 Sobolev 范数的泛函族

我们得到了 Sobolev 空间 $\dot W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$ 和有界变差空间 $\dot{BV}(\mathbb{R}^N)$ 的新刻画。这些刻画通过泛函 $\nu_{\gamma} (E_{\lambda,\gamma/p}[u])$ 给出，其中 $$E_{\lambda,\gamma/p}[u]= \Big\{(x,y )\in \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \colon x \neq y, \, \frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^{1+\gamma/p}}>\lambda\Big\}$$ 且测度 $\nu_{\gamma}$ 由 $\mathrm{d} \nu_\gamma(x,y)=|x-y|^{\gamma-N} \mathrm{d} x \mathrm{d} y$ 给出。我们提供了涉及 $L^{p,\infty}$-拟范数 $\sup_{\lambda>0} \lambda \, \nu_{\gamma} (E_{\lambda,\gamma/p}[u]) ^{1/p}$ 的刻画，以及通过相应极限泛函给出的精确公式：当 $\gamma>0$ 时为 $\lambda\to\infty$ 的极限，当 $\gamma<0$ 时为 $\lambda\to 0^+$ 的极限。结果统一并大幅扩展了 Nguyen 以及 Brezis、Van Schaftingen 和 Yung 的先前工作。对于 $p>1$，刻画对所有 $\gamma \neq 0$ 成立。对于 $p=1$，$L^{1,\infty}$ 拟范数的上界在 $\gamma\in [-1,0)$ 范围内不成立；此外在此情形下，极限泛函对 $C^\infty_c$-函数表示梯度的 $L^1$ 范数，但对一般的 $\dot W^{1,1}$-函数则不成立。针对此情况，我们给出了基于维数为 $\gamma+1$ 的自相似集构造的新反例。对于 $\gamma=0$，Sobolev 空间的刻画不成立；然而我们通过表达式 $\nu_0(E_{\lambda,0}[u])$ 得到了 Lipschitz 范数的一个新公式。