$L^p$-Taylor 逼近刻画 Sobolev 空间 $W^{1,p}$

本文引入了 Calder\'on 和 Zygmund 的 $L^p$-可微性概念的一个变体——\emph{$L^p$-Taylor 逼近}。我们的第一个结果是，Sobolev 空间 $W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$ 中的函数拥有一阶 $L^p$-Taylor 逼近。这与 Calder\'on 和 Zygmund 关于 Sobolev 函数 $L^p$-可微性的结果相类比。事实上，我们在此宣布的主要结果是：一阶 $L^p$-Taylor 逼近刻画了 Sobolev 空间 $W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，从而蕴含了 $L^p$-可微性。我们的方法建立了以下几类 Sobolev 空间刻画之间的联系：Swanson 利用 Calder\'on-Zygmund 类给出的刻画、Bourgain、Brezis 和 Mironescu 利用非局部泛函给出的刻画，以及作者与 Mengesha 利用非局部梯度给出的刻画。Sobolev 空间的任意两种刻画之间存在关联并不令人惊讶，然而我们分析的一个推论是，提供了一个简单的条件来判断一个有界变差函数是否属于 Sobolev 空间。