Ahlfors 正则度量测度空间中 Sobolev 函数的大尺度行为

本文中，我们研究在支持 $p$-Poincaré 不等式的 Ahlfors $Q$-正则度量测度空间设定下 $p$-Sobolev 函数在无穷远处的行为。通过引入在无穷远处 $p$-thin 的集合概念，我们证明当 $1\le p<Q<+\infty$ 时，齐次空间 $\dot N^{1,p}(X)$ 中的函数在 $p$-thin 集外必然在无穷远处存在极限。当 $p>Q$ 时，我们借例子表明 $\dot N^{1,p}(X)$ 中函数的无穷远极限唯一性可能失效。当 $p=Q$ 时，$\dot N^{1,p}(X)$ 中的函数可能在无穷远处无任何合理极限，我们引入在无穷远处 $Q$-thick 集的概念，并依据在 $Q$-thin 集外及沿 $Q$-thick 集的极限刻画 $\dot N^{1,Q}(X)$ 中函数沿无穷曲线的极限。通过弱化 thick 集概念，我们表明沿此类 almost thick 集有极限的 $\dot N^{1,Q}(X)$ 中函数可能沿任何无穷曲线均无极限。尽管齐次 $p$-Sobolev 函数在 $p\ge Q$ 时可能在无穷远处有无限极限，我们给出此类函数增长速率的界：当 $p=Q$ 时，$\dot N^{1,p}(X)$ 中函数在无穷远处具亚对数增长；而当 $p>Q$ 时，此类函数在无穷远处的增长由 $d(\cdot, O)^{1-Q/p}$ 控制，其中 $O$ 为 $X$ 中固定基点。对于非齐次空间 $N^{1,p}(X)$，现象不同。我们证明对 $1\le p\le Q$，函数 $u\in N^{1,p}(X)$ 的极限在 $p$-thin 集外为零；而对所有 $u\in N^{1,p}(X)$，当 $p>Q$ 时有 $\lim_{x\to+\infty}u(x)=0$。