Banach 值 Sobolev 函数的延拓与逼近

在配备加倍测度并支持弱 Poincaré 不等式的完备度量测度空间中，我们研究当定义在满足测度密度条件的子集上的给定 Banach 值 Sobolev 函数，何时是整个空间上定义的 Banach 值 Sobolev 函数的限制。我们分别针对 Hajłasz- 与 Newton-Sobolev 空间研究该问题。首先，我们证明 Hajłasz-Sobolev 可延拓性与目标 Banach 空间无关。我们还证明每个 $c_0$ 值 Newton-Sobolev 延拓集对每个 Banach 空间都是 Banach 值 Newton-Sobolev 延拓集。我们也证明任何满足测度密度条件且在某尺度下支持弱 Poincaré 不等式的可测集，对每个 Banach 空间都是 Banach 值 Newton-Sobolev 延拓集。反之，我们验证了一个熟知的结论：当 $n\leq p<\infty$ 时，每个 $W^{1,p}$-延拓域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 在某尺度下支持弱 $(1,p)$-Poincaré 不等式。作为一个相关且具独立意义的结果，我们证明在任何度量测度空间中，当 $1 \leq p < \infty$ 且具有界支撑的实值 Lipschitz 函数在实值 $W^{1,p}$-空间中按范数稠密时，只要 Banach 空间有所谓的度量逼近性质，则具有界支撑的 Banach 值 Lipschitz 函数在每个 Banach 值 $W^{1,p}$-空间中按能量稠密。