度量空间上Sobolev型空间到加权$L^q$空间的Poincaré不等式与紧嵌入

我们研究了度量空间上Sobolev型空间到关于另一测度的$L^q$空间的嵌入的紧性与有界性。所考虑的Sobolev空间可为分数阶，且部分结论也允许非加倍测度。我们的结果以一般形式给出，使用了覆盖族序列与局部Poincaré型不等式。我们展示了如何构造此类合适的覆盖与Poincaré不等式。对于局部加倍测度，我们证明了双权Poincaré不等式的自改进性质，其亦适用于低维测度。我们同时处理了多种Sobolev空间，如Newtonian空间、分数阶Hajłasz空间与Poincaré型空间，针对相当一般的测度与集合，包括分形与具有分形边界的区域。通过考虑此类区域边界上的低维测度，我们得到了上述空间的迹嵌入。在Newtonian空间情形，我们精确刻画了到关于另一测度的$L^q$空间的嵌入何时为紧。我们的工具由具体例子说明。对于满足适当维数条件的测度，我们恢复了${\bf R}^n$中区域与分形集合上的若干经典嵌入定理。