二阶Sobolev空间中的Lipschitz逼近与变量替换公式

本文研究 Sobolev 空间 $W^2_{p,\loc}(\Omega)$（$\Omega\subset\mathbb R^n$）中函数由 Lipschitz 连续函数逼近的问题。我们证明：若 $f\in W^2_{p,\loc}(\Omega)$，$1\leq p<\infty$，则存在闭集列 $\{A_k\}_{k=1}^{\infty},A_k\subset A_{k+1}\subset \Omega$，使得限制 $f \vert_{A_k}$ 为 Lipschitz 连续函数，且 $\cp_p\left(S\right)=0$，$S=\Omega\setminus\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k$。利用这些逼近，我们证明了具有 Luzin 容量测度 $N$-性质的 Sobolev 空间 $W^2_{p,\loc}(\Omega;\mathbb R^n)$ 映射在 Lebesgue 积分中的变量替换公式。