变指数 Sobolev 空间中光滑函数的稠密性

我们证明，如果$p_-\geq 2$，那么$L^{p(\cdot)}(\mathbb R^n)$中具有紧支集函数的 Riesz 势也是$L^{p(\cdot)}(\mathbb R^n)$的元素，这是在变指数 Sobolev 空间$W^{1,p(\cdot)}(\mathbb R^n)$中具有紧支集的光滑函数稠密的一个充分条件。利用这一结果，我们随后证明了在以下情况下上述稠密性成立：(i) $p_-\geq n$，或 (ii) $2\leq p_-< n$且$p_+<\frac{np_-}{n-p_-}$。此外，我们的结果使我们能够为$p_-\geq 2$的情况提供一种替代证明，即极大算子的局部有界性（从而局部 log-Hölder 连续性）蕴含了具有紧支集的光滑函数在变指数 Sobolev 空间$W^{1,p(\cdot)}(\mathbb R^n)$中的稠密性。