关于芬斯勒流形上的 Sobolev 空间与稠密性定理

设 $(M,F)$ 为一个 $C^\infty$ 芬斯勒流形，$p\geq 1$ 为实数，$k$ 为正整数，$H_k^p (M)$ 为由芬斯勒结构 $F$ 确定的某个 Sobolev 空间。本文证明了 $M$ 上所有具有紧支集的实值 $C^{\infty}$ 函数集合在 Sobolev 空间 $H_1^p (M)$ 中是稠密的。该结果允许用 $(M,F)$ 上具有紧支集的 $C^ \infty$ 函数来逼近生活在 $H_1^p (M)$ 中的 Dirichlet 问题的某些解。此外，设 $W \subset M$ 为具有 $C^r$ 边界 $\partial W$ 的正则区域，则 $C^r (W) \cap C^0 (\overline W)$ 中的所有实函数集合在 $H_k^p (W)$ 中是稠密的，其中 $k\leq r$。本工作是对 T. Aubin 关于黎曼流形上某些稠密性定理的推广。