关于 Finsler 流形上的 Sobolev 空间与稠密定理

本文针对 Finsler 结构 $F$ 定义了 Sobolev 空间的自然推广，并证明了在前向测地完备 Finsler 流形 $(M, F)$ 上所有具有紧支集的实 $C^{\infty}$ 函数集合在推广的 Sobolev 空间 $H_1^p (M)$ 中稠密。由此，Dirichlet 方程 $\Delta u=f$ 的弱解 $u$ 可由 $M$ 上具紧支集的 $C^\infty$ 函数逼近。此外，设 $W \subset M$ 为具有 $C^r$ 边界 $\partial W$ 的正则域，则 $C^r (W) \cap C^0 (\overline W)$ 中所有实函数构成的集合在 $H_k^p (W)$ 中稠密，其中 $k\leq r$。最后，给出了若干例子并说明了不等式 $k\leq r$ 的尖锐性。