子解析流形Sobolev空间中Neumann正则光滑函数的稠密性

我们给出了有界子解析 $\mathscr{C}^\infty$ 子流形 $M \subset \mathbb{R}^n$ 的刻画，使得Neumann正则函数空间在Sobolev空间中稠密。所谓“Neumann正则函数”，是指在几乎所有边界点光滑且其梯度与边界相切的函数。对于 $p\in [1,2]$ 的情况，我们证明 $\mathscr{C}^\infty(\overline{M})$ 中的Neumann正则元素在 $W^{1,p}(M)$ 中稠密当且仅当 $M$ 在几乎所有边界点处连通。对于大的 $p$，我们证明 $\mathscr{C}^\infty(M)$ 中的Neumann正则Lipschitz元素在 $W^{1,p}(M)$ 中稠密当且仅当 $M$ 在每个边界点处连通。证明涉及Lipschitz Neumann正则单位分割的构造，这本身具有独立意义。