二维 Sobolev 空间的一个稠密性结果及其在非线 Neumann 问题稳定性中的应用

我们证明若 $\Om \subseteq \R^2$ 有界且 $\R^2 \setminus \Om$ 满足适当的结构假设（例如其具有可数多个连通分支），则对每一个 $1\le p<2$，$W^{1,2}(\Om)$ 在 $W^{1,p}(\Om)$ 中稠密。这一稠密性结果的主要应用是研究形如 $$\begin{cases} -{\rm div} A(x,\nabla u)+B(x,u)=0 & \text{in}\Om, \\ A(x,\nabla u)\cdot \nu=0 & \text{on}\partial \Om, \end{cases}$$ 的非线性 Neumann 问题在边界变动下的稳定性，其中 $A:\R^2\times \R^2 \to \R^2$ 与 $B:\R^2 \times \R \to \R$ 是满足 p 阶标准单调性与增长条件的 Carathéodory 函数。