平面区域上索伯列夫空间的稠密性问题

我们证明，对于有界单连通区域 $\Omega\subset \mathbb R^2$，索伯列夫空间 $W^{1,\,\infty}(\Omega)$ 在 $W^{1,\,p}(\Omega)$ 中对任意 $1\le p<\infty$ 都是稠密的。此外，我们证明如果 $\Omega$ 是若尔当区域，则 $C^{\infty}(\mathbb R^2)$ 在 $W^{1,\,p}(\Omega)$ 中对 $1\le p<\infty$ 是稠密的。