平面 Sobolev 延拓域的几何刻画

我们将有界单连通平面 $W^{1,p}$-延拓域（其中 $1 < p <2$）刻画为那些有界域 $\Omega \subset \mathbb R^2$，对于其中任意两点 $z_1,z_2 \in \mathbb R^2 \setminus \Omega$，存在一条曲线 $\gamma\subset \mathbb R^2 \setminus \Omega$ 连接它们，并满足 $$\int_{\gamma} dist(z,\partial \Omega)^{1-p}\, dz \lesssim |z_1-z_2|^{2-p}.$$ 结合已知结果，我们得到以下对偶结果：Jordan 域 $\Omega \subset \mathbb R^2$ 是 $W^{1,p}$-延拓域（$1 < p < \infty$），当且仅当其补域 $\mathbb R^2 \setminus \bar\Omega$ 是 $W^{1,p/(p-1)}$-延拓域。