Sobolev Jordan-Schönflies 问题

我们考虑平面单位圆盘 $\mathbb D$ 作为参考构型、Jordan 域 $\mathbb Y$ 作为变形构型，并研究将给定边界同胚 $\varphi \colon \partial \mathbb D \to \partial \mathbb Y$ 扩展为复平面的 Sobolev 同胚的问题。研究经典 Jordan-Schönflies 定理的这一 Sobolev 变体，其动机来自非线性弹性（NE）与几何函数论（GFT）中相关纯位移变分问题的适定性。显然，边界映射 $\varphi$ 容许 $W^{1,p}$-Sobolev 同胚扩展的必要条件是它首先容许一个连续的 $W^{1,p}$-Sobolev 扩展。然而对于任意目标域 $\mathbb Y$，这并不充分。