共形边界值的 Schoenflies 解可能不属于 Sobolev 空间

我们证明存在一个平面 Jordan 域 $\Omega$,其边界的 Hausdorff 维数为 $1$,使得对任意共形映射 $\varphi \colon \mathbb D \to \Omega$,$\varphi$ 或 $\varphi^{-1}$ 到整个平面的任意同胚扩张都不属于 $W^{1,\,1}_{\rm loc}$(甚至不属于 $BV_{\rm loc}$)。