从局部 (epsilon,delta)-域扩展具有部分消失迹的 Sobolev 函数及其在混合边值问题中的应用

我们证明，对于任意正整数 $k$，对于每个开集 $\Omega$ 及其闭包的任何闭子集 $D$，若 $\Omega$ 在不包含于 $D$ 的 $\Omega$ 边界点附近是局部 (epsilon,delta)-域，则存在一个线性有界扩展算子 $E$，对于每个 $p\in[1,\infty]$，将空间 $W^{k,p}_D(\Omega)$ 映射到 $W^{k,p}_D({\mathbb{R}}^n)$。此处，用 $O$ 表示 $\Omega$ 或整个环境空间，空间 $W^{k,p}_D(O)$ 定义为经典 Sobolev 空间 $W^{k,p}(O)$ 中支撑集与 $D$ 不相交的紧支撑光滑函数的完备化。进而，该结果被用于发展 $W^{k,p}_D(\Omega)$ 类函数的泛函分析理论（包括内蕴刻画、边界迹与扩展结果、插值定理等），随后该理论被应用于处理在局部 (epsilon,delta)-域中表述的混合边值问题。