配备幂权重的半直线上加权 Sobolev 空间中的稠密性结果与迹算子

我们研究 $W_0^{1,p}(\mathbb{R}_+,t^\beta)$ 的性质——即 $C_0^\infty(\mathbb{R}_+)$ 在幂加权 Sobolev 空间 $W^{1,p}(\mathbb{R}_+,t^\beta)$ 中的完备化，其中 $\beta\in\mathbb{R}$。除其他结果外，我们对所有 $\beta\in \mathbb{R}$ 给出了 $W_0^{1,p}(\mathbb{R}_+,t^\beta)$ 的解析刻画。我们的分析基于对两个迹算子的精确研究：$Tr^{0}(u):= \lim_{t\to 0} u(t)$ 与 $Tr^{\infty}(u):= \lim_{t\to \infty} u(t)$，这引出了对 $W_0^{1,p}(\mathbb{R}_+,t^\beta)$ 中函数在零附近或无穷远处渐近行为的分析。所得结论有助于常微分方程或具有径向对称性的偏微分方程中边值问题的恰当表述。我们也可将结果应用于 M. Cwikel 与 A. Einav 于 2019 年提出的复插值理论中的某些问题，并在 Sobolev 空间 $W^{1,p}(\mathbb{R}_+,t^\beta)$ 的特例中加以讨论。