$\mathbb{R}^{n}$ 的 $d$-厚闭子集上的 Sobolev $W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ 空间

设 $S \subset \mathbb{R}^{n}$ 为一闭集，使得对于某个 $d \in [0,n]$ 和 $\varepsilon > 0$，对所有中心在 $x \in S$、边长 $2r \in (0,2]$ 的方体 $Q(x,r)$，均有 $d$-Hausdorff 容度 $\mathcal{H}^{d}_{\infty}(S \cap Q(x,r)) \geq \varepsilon r^{d}$。对于每个 $p \in (1,\infty)$，记 $W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ 为 $\mathbb{R}^{n}$ 上的经典 Sobolev 空间。在 $p > \max\{1,n-d\}$ 的条件下，我们给出了空间 $W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ 限制于集合 $S$ 上的内在刻画 $W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})|_{S}$。此外，我们证明存在有界线性算子 $\operatorname{Ext}:W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})|_{S} \to W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})$，使得 $\operatorname{Ext}$ 是通常迹算子的右逆。特别地，对于 $p > n-1$，我们刻画了 Sobolev 空间 $W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ 到任意开道路连通集 $\Omega$ 的闭包 $\overline{\Omega}$ 上的迹空间。我们的结果推广了现有 $p \in (1,n]$ 且对 $S$ 有更严格限制的结果。