带有附加可积性约束的 Sobolev 函数与高阶有界变差函数的稠密性结果

我们证明了光滑函数在 Sobolev 空间与高阶 $BV$ 空间的子空间中的稠密性，这两类子空间分别为 $W^{m,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega-D)$ 和 $BV^m(\Omega)\cap L^q(\Omega-D)$，其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ($n\in\mathbb{N}$) 是具有适当光滑边界的开有界集，$m<n$ 为正整数，$1\leq p<\infty$ 满足 $mp<n$，$D\Subset\Omega$ 是充分正则的开子集，且 $q> np/(n-mp)$。这里我们称一个 $W^{m-1,1}(\Omega)$ 函数具有 $m$ 阶有界变差 ($BV^m$)，如果其在分布意义下的 $m$ 阶偏导数是有限的 Radon 测度。这延续了 C. Tietz 与作者先前关于仅具有一阶可微性函数的结果，该结果产生于与图像分析相关的变分问题背景中。结合我们的方法，还研究了关于 $W^{1,p}(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ 函数边界迹的一个问题。