光滑多项式根的有界变差选择

我们证明，定义在 ℝᵐ 中有界 Lipschitz 区域 Ω 上的、具有复值系数的光滑首一多项式，其根容许一个关于系数一致的有界变差函数参数化。这一结果在如下意义下是最优的：由于单值性，根的不连续性通常是不可避免的。我们证明，不连续集可选为有限个光滑超曲面的并集。在其补集上，根的参数化属于最优 Sobolev 类 W^{1,p}，其中 1 ≤ p < n/(n-1)，n 为多项式的次数。所有不连续性均为跳跃不连续。为此，我们要求系数属于 C^{k-1,1}(Ω̅) 类，其中 k 是一个仅依赖于 n 和 m 的正整数。可微性阶数 k 并非最优。然而，在根式情形，即方程 Zʳ = f 的解，其中 f 为复值函数且 r ∈ ℝ_{>0}，我们得到了最优的一致界。