多项式和正规矩阵的拟解析多参数摄动

我们研究了固定次数 n 的复单变量首一多项式族 $P(x)(z) = z^n + \sum_{j=1}^n (-1)^j a_j(x) z^{n-j}$ 的根的规律性，其系数属于 $C^\infty$ 函数的某个子环 $\mathcal C$。我们要求 $\mathcal C$ 包含多项式但不包含平坦函数（拟解析性），并且在复合、求导、除以坐标和取逆下封闭。例子包括拟解析的 Denjoy–Carleman 类，特别是实解析函数类 $C^\omega$。我们证明，参数空间存在一个局部有限覆盖 $\{\pi_k\}$，其中每个 $\pi_k$ 是有限个 $\mathcal C$ 映射的复合，每个映射要么是具有光滑中心的局部吹胀，要么是局部幂替换（在坐标下由 $x \mapsto (\pm x_1^{\gamma_1},...,\pm x_q^{\gamma_q})$ 给出，$\gamma_i \in \mathbb N_{>0}$），使得对于每个 $k$，多项式族 $P \circ \pi_k$ 允许其根的 $\mathcal C$ 参数化。如果 $P$ 是双曲的（所有根为实数），则局部吹胀就足够了。利用这个解奇异化结果，我们证明 $P$ 的根可以由 $SBV_{loc}$ 函数参数化，这些函数的经典梯度几乎处处存在且属于 $L^1_{loc}$。一般来说，对于任何 $1 < p \le \infty$，根不能具有 $L^p_{loc}$ 中的梯度。根也不能属于 $W_{loc}^{1,1}$ 或 $VMO$。我们为 $\mathcal C$ 族正规矩阵的特征值和特征向量获得了相同的正则性性质。进一步的推论是，每个连续的子解析函数都属于 $SBV_{loc}$。