双曲多项式的线性切片与对称多项式函数的正性

一个 n 次实单变量多项式若其全部 n 个根都在实轴上，则称为双曲多项式。这类多项式自然出现在不同应用中，例如组合数学与优化。本文关注的是由系数的 k 个线性条件所确定的一类双曲多项式族。对应于这样一类双曲多项式的系数构成一个半代数集，我们称之为“双曲切片”。我们在此 initiate 对这些对象的几何进行更细致的研究。双曲多项式的集合根据实零点的重数自然分层，该分层也在双曲切片上诱导出分层。我们此处的主要关注点是双曲切片的“局部极值点”，即线性泛函的局部极值点，并证明它们恰好对应于该双曲切片中具有至多 k 个不同根的双曲多项式，且我们可证明此类族的交集凸包通常是一个多面体。基于这些结果，我们给出其对对称实簇与对称半代数集研究的影响。在此，我们证明由对称多项式定义的、且能以初等对称多项式稀疏表示的集合，可在具有少量不同坐标的点上采样。这转而带来算法上的简化，例如用于验证此类多项式非负或此类多项式定义的半代数集为空。