多项式的根与曲面的脐点

对于某些多项式，我们将单位圆内根的个数与欧氏三维空间中实解析曲面上非退化孤立脐点的指标联系起来。特别地，对于 $N>0$，我们证明对于一类 ($N+2$) 维实参数的 $N$ 次复多项式族，单位圆内根的个数小于或等于 $1+N/2$。该上界按如下方式建立。由多项式我们构造一个含有孤立脐点的凸实解析曲面，使得该脐点的指标由多项式位于单位圆内的根的个数决定。根的个数上界随即由 Hamburger 关于凸实解析曲面上孤立脐点指标的界得出。所出现的多项式类是其二阶导数自反演者。因此，对于二阶导数自反演的多项式，证明了其单位圆内根的个数有界。