通过矩阵与多项式迭代实现实多项式求根

一元多项式求根是一个经典课题，对现代计算仍然重要。通常人们只寻求实系数多项式的实根。若多项式没有非实根，则可以以较低的计算成本对其进行逼近，但对于高次多项式，非实根通常远比实根多。这一难题由来已久，该课题已被深入研究。然而，我们提出了一些新颖的思想和技术，获得了已知算法的显著加速。为实现这一进展，我们利用了矩阵与多项式计算之间的相关性、随机矩阵计算以及复平面几何，扩展了矩阵符号迭代的技术，并利用了输入多项式的伴随矩阵的结构。我们在基准多项式和随机矩阵上的大量测试结果非常令人鼓舞。特别地，在我们的测试中，算法收敛所需的迭代次数随着一元输入多项式次数和输入矩阵维度从 64 增加到 1024 而增长非常缓慢（甚至几乎没有增长）。